a: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔABK vuông tại B

=>BK//CH

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔACK vuông tại C

=>CK//BH

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

=>BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của BC

a) Ta có: \(\angle AEB=\angle ADB=90\Rightarrow ABDE\) nội tiếp

b) Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ACK=\angle ABK=90\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CK\bot AC\\BK\bot AB\end{matrix}\right.\) mà \(\left\{{}\begin{matrix}BH\bot AC\\CH\bot AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(BH\parallel CK,CH\parallel BK\)

\(\Rightarrow BHCK\) là hình bình hành

c) Vì F là giao điểm của CH và AB \(\Rightarrow CF\bot AB\)

Ta có: \(\dfrac{AD}{HD}+\dfrac{BE}{HE}+\dfrac{CF}{HF}=\dfrac{AD.BC}{HD.BC}+\dfrac{BE.AC}{HE.AC}+\dfrac{CF.AB}{HF.AB}\)

\(=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HBC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{AHC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{AHB}}=S_{ABC}\left(\dfrac{1}{S_{HBC}}+\dfrac{1}{S_{AHC}}+\dfrac{1}{S_{AHB}}\right)\)

\(\ge S_{ABC}.\dfrac{9}{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{AHB}}\)(BĐT Schwarz) \(=S_{ABC}.\dfrac{9}{S_{ABC}}=9\)

\(\Rightarrow Q_{min}=9\)

a: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔABK vuông tại B

=>BK//CH

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔACK vuông tại C

=>CK//BH

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

=>BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của BC

đề bài đâu có I bạn ơi

a,

b, AK là đường kính=>tam giác ACK nội tiếp(O)

=>\(KC\perp AC\)

mà BE là đường cao=>\(BH\perp AC=>BH//KC\left(1\right)\)

làm tương tự \(=>CH//BK\left(2\right)\)

(1)(2)=>BHCK là hinh bình hành

còn điểm I ấy chắc là trung điểm của BC chăng?(đề chắc thiếu)

=>I cũng là trung điểm HK=>H,I,K thẳng hàng

a: Xét (O) có

ΔABM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔABM vuông tại B

=>BM\(\perp\)AB

mà CH\(\perp\)AB

nên CH//BM

Xét (O) có

ΔACM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔACM vuông tại C

=>AC\(\perp\)CM

mà BH\(\perp\)AC

nên BH//CM

Xét tứ giác BHCM có

BH//CM

BM//CH

Do đó: BHCM là hình bình hành

b:

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{BAN}=90^0\)(ΔADB vuông tại D)

\(\widehat{AMC}+\widehat{MAC}=90^0\)(ΔACM vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

nên \(\widehat{BAN}=\widehat{MAC}\)

Xét (O) có

ΔANM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔANM vuông tại N

=>AN\(\perp\)NM

mà AN\(\perp\)BC

nên BC//NM

Ta có: \(\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)(=90 độ-góc FCB)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ANC}\)

Do đó: \(\widehat{CHD}=\widehat{ANC}\)

=>ΔCHN cân tại C

=>CH=CN

mà CH=BM

nên BM=CN

Xét tứ giác BCMN có BC//MN

nên BCMN là hình thang

Hình thang BCMN có BM=CN

nên BCMN là hình thang cân